9-1 逻辑回归与二分类算法
📌 一、 课程导入（10分钟）
在前两节课中，我们学习了线性回归，用来预测连续的数值（如房价、月薪）。
抛出新场景与问题： 假设我们学校的宿舍管理系统要新增一个“学生违纪风险预警”功能，或者电商平台要预测“用户是否会购买商品”：
- 输出的结果不再是一个具体数值，而是 “是/否”、“合格/不合格”、“违纪/正常”。
- 能不能直接用线性回归线（例如 $y = wx + b$）来输出这种“非 0 即 1”的结果？
核心矛盾： 线性回归的输出区间是 $(-\infty, +\infty)$，直接用来做分类会出现预测值超过 1 或小于 0 的不合理现象。因此，我们需要一个**“概率转换器”**，把任意数值压缩到 $0 \sim 1$ 之间的概率区间。
- 👨🏫 教师活动：在黑板或 PPT 上展示“预测房价（连续值）”与“预测考试是否及格（0/1）”的对比图，引导学生思考两者的区别。
- 🧑🎓 学生活动：对比分析两种业务场景，指出分类问题的输出只有固定的几个类别。
从连续数值预测引出离散类别预测，揭示线性回归处理分类问题时的局限，顺理成章地引出逻辑回归与 Sigmoid 函数。
📖 二、 解决问题过程（一）：逻辑回归原理与 Sigmoid 函数（25分钟）
1. 从线性回归到逻辑回归
逻辑回归的核心逻辑是：先用线性模型算出一个得分，再用 Sigmoid 函数把得分转成概率。
$$\text{线性得分 } z = w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + b$$2. Sigmoid 激活函数
$$\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$- Sigmoid 函数两大特性：
- 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$(0, 1)$。完美对应“概率”概念！
- 当 $z = 0$ 时，$\sigma(z) = 0.5$。
- 当 $z > 0$ 时，$\sigma(z) > 0.5$ $\rightarrow$ 判定为类别 1；
- 当 $z < 0$ 时，$\sigma(z) < 0.5$ $\rightarrow$ 判定为类别 0。
3. 决策边界与分类规则
默认以 $0.5$ 作为临界阈值：
$$P(y=1\vert{}x) \ge 0.5 \implies \text{预测为类别 1}$$$$P(y=1\vert{}x) < 0.5 \implies \text{预测为类别 0}$$
- 👨🏫 教师活动：绘制 Sigmoid 函数的 S 型曲线图，重点演示当输入值 $z$ 变大或变小时，输出概率如何在 $(0, 1)$ 之间变化。
- 🧑🎓 学生活动：手算简单数值（如 $z=0$ 时概率为 $0.5$），理解 Sigmoid 的映射机制。
突破教学难点，让学生明白“逻辑回归本质上还是线性模型，只是外包了一层 Sigmoid 映射”，消除对分类算法的恐惧感。
💻 三、 解决问题过程（二）：使用 Scikit-Learn 实现逻辑回归（25分钟）
在 Python 中，使用 sklearn.linear_model.LogisticRegression 即可完成分类模型的搭建与预测。
- 👨🏫 教师活动：在 Notebook 中演示代码，强调
.predict()与.predict_proba()的输出差异，展示概率之和恒等于 1 的特性。 - 🧑🎓 学生活动：编写并运行代码，尝试修改
X_new的数值（如改为学习 0.5 小时），观察预测概率的变化。
通过真实贴近学生生活的“考试及格预测”案例，让学生掌握工业级二分类 API 的调用，重点区分标签预测与概率预测的区别。
✍️ 四、 解决问题过程（三）：课堂练习与巩固（20分钟）
📝 五、 课堂小结（5 分钟）
flowchart LR
root["📊 9-1 逻辑回归与二分类"]
subgraph C1["💡 核心概念"]
direction TB
A1["任务类型：二分类（0/1）"]
A2["核心思想：线性得分 + 概率转换"]
end
subgraph C2["📐 Sigmoid 函数"]
direction TB
B1["公式：1 / (1 + e^-z)"]
B2["值域：0 到 1 之间（映射概率）"]
B3["决策阈值：默认 0.5 分界"]
end
subgraph C3["💻 Sklearn 实现"]
direction TB
C1_node["LogisticRegression 模块"]
C2_node["predict：输出类别 0 或 1"]
C3_node["predict_proba：输出具体概率"]
end
root --> C1
root --> C2
root --> C3
style root fill:#4b6cb7,stroke:#253b6e,color:#fff,stroke-width:2px,rx:8px,ry:8px
style C1 fill:#e3f2fd,stroke:#2196f3,stroke-width:1px
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